Winkelproblem
Aus Ruderwiki
In welchem Winkel muss ich über den Rhein fahren?
Eine (unsinnige) Diskussion, die jeder kennt, der ein fließendes Gewässer überqueren will: wie fahre ich am besten rüber? So schnell es geht queren und in Kauf nehmen, dass man abgetrieben wird? So queren, dass man nicht abgetrieben wird, oder doch einfach in Richtung des Zieles rüber, obwohl man dann lange in der vollen Strömung unterwegs ist?
Hier ist die Lösung.
Modellskizze
Wir gehen von folgendem Grundmodell aus:
- Der Fluss ist D m breit.
- das Boot ist vb m/s schnell
- die Strömung ist über die gesamte Breite vf m/s schnell
- Das Boot hat während der Querung einen Winkel von a von der Fließrichtung
Ein verfeinertes Modell geht von folgenden Zusatzannahmen aus;
- dort, wo man am Ufer entlang fährt, ist die Strömung nur um den Faktor x so stark wie in der Mitte.
- während der Überfahrt ist das Boot wegen Wellen/Wirbel etc. um den Faktor x langsamer als am Ufer.
Dann ergibt sich folgendes:
Daraus erhält man folgende Formeln:
- Die Querungszeit tq beträgt tq = D/(vb*sin(a))
- Die Strecke, die man dabei abtreibt, ist da = tq * (vf-vb*cos(a))/vb
- Die Zeit, die man zum wieder hochfahren benötigt beträgt ta = da/vb
Die Gesamtzeit t ist demnach:
t = tq + ta = tq + tq*(vf-vb*cos(a))/vb = tq*(1+(vf-vb*cos(a))/vb) <=> t = D/(vb*sin(a))*(1+(vf-vb*cos(a))/vb)
mit y = vf/vb erhält man
t = D/(vb*sin(a))*(1+y-cos(a))
Da man das ganze für beliebige Flussbreiten rechnen und beliebige Bootsgeschwindigkeiten nehmen kann (es kommt nur auf den Faktor y an) setzend wir D und vb auf 1.
Man erhält also
t' = (1+y-cos(a))/sin(a)
Dies ergibt für ein a von 0 bis pi/2 sowie ein y von 0.2 bis 1.5 folgende Werte:
